„Der Weltraum. Unendliche Weiten…“ Mit diesen Worten startete in den 60er Jahren jede Folge der Science Fiction-Kultserie „Raumschiff Enterprise“ – und fesselte damit seit Sendestart Millionen Zuschauer. Schon seit Anbeginn der Menschheit übt die Unendlichkeit eine besondere Faszination aus. Der Verstand bemüht sich vergeblich, eine Vorstellung des Unendlichen zu entwickeln. Doch auch in unserem Alltag ist sie stets präsent. Zum Beispiel symbolisiert die geometrische Form des Kreises „Unendlichkeit“, da er weder über einen Anfang noch ein Ende verfügt. Im Mathematikunterricht lernen Schüler schon früh die Kreiszahl 
kennen und erfahren, dass sie über unendlich viele Dezimalstellen verfügt. Eine Möglichkeit, sich anzunähern, besteht darin, einen Kreis als Vieleck mit unendlich vielen Ecken zu betrachten – so jedenfalls ging Archimedes vor, als er etwa 250 v. Chr. einen Wert für die Kreisberechnung ermitteln wollte. Deshalb wird auch heute noch gelegentlich Archimedes-Konstante genannt. Auch in der Sprache hat die Unendlichkeit ihren festen Platz: Zum Beispiel, wenn wir „immer“ oder „nie“ sagen, setzen wir einen unendlichen Lauf der Zeit voraus – ohne es zu bemerken.
kennen und erfahren, dass sie über unendlich viele Dezimalstellen verfügt. Eine Möglichkeit, sich anzunähern, besteht darin, einen Kreis als Vieleck mit unendlich vielen Ecken zu betrachten – so jedenfalls ging Archimedes vor, als er etwa 250 v. Chr. einen Wert für die Kreisberechnung ermitteln wollte. Deshalb wird auch heute noch gelegentlich Archimedes-Konstante genannt. Auch in der Sprache hat die Unendlichkeit ihren festen Platz: Zum Beispiel, wenn wir „immer“ oder „nie“ sagen, setzen wir einen unendlichen Lauf der Zeit voraus – ohne es zu bemerken.
, die erste Zahlenmenge, mit der sie in der Schule rechnen, unendlich groß ist. Das Konzept wirft schon zu Beginn der Sekundarstufe Fragen auf, die nicht einfach zu beantworten sind: Die Menge der natürlichen Zahlen, die größer sind als 50, ist unendlich groß. Die Menge der natürlichen Zahlen, die größer sind als 100, auch. Aber müsste dann nicht die erste der beiden Mengen noch einmal um 50 Elemente größer sein als die zweite?
abzählbar unendlich war, bediente er sich des „ersten Diagonalsverfahrens“:
In einem Koordinatensystem lies er nach rechts die Ganzen Zahlen, die im Nenner eines Bruchs stehen können, laufen, vertikal die Ganzen Zahlen, die im Zähler stehen. Durch einen Verlauf diagonal durch das System hinweg gelang es Cantor, alle Elemente von lückenlos aufzuzählen – und so zu zeigen, dass auch abzählbar unendlich ist. Obwohl Cantor das Gefühl hatte, bei der Menge der reellen Zahlen 
auf eine nicht abzählbare Menge zu treffen, hat ihn die Suche nach einem Beweis längere Zeit beschäftigt. Schließlich gelang es ihm, mit dem zweiten Diagonalverfahren die Abzählbarkeit von zu widerlegen. Er legt dazu das Intervall (0;1) zu Grunde und versucht, seine Abzählbarkeit herzustellen, indem er jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl nach diesem Muster zuordnet:
lückenlos aufzuzählen – und so zu zeigen, dass auch abzählbar unendlich ist. Obwohl Cantor das Gefühl hatte, bei der Menge der reellen Zahlen auf eine nicht abzählbare Menge zu treffen, hat ihn die Suche nach einem Beweis längere Zeit beschäftigt. Schließlich gelang es ihm, mit dem zweiten Diagonalverfahren die Abzählbarkeit von zu widerlegen. Er legt dazu das Intervall (0;1) zu Grunde und versucht, seine Abzählbarkeit herzustellen, indem er jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl nach diesem Muster zuordnet:
z steht für die Ziffern der Nachkommastellen, z37 zum Beispiel für die siebte Nachkommastelle der dritten Zeile. Der Beweis für die Nicht-Abzählbarkeit wäre erbracht, wenn sich eine Zahl fände, die nicht in der Liste enthalten sein kann. Cantor findet sie in zwei Schritten: Zunächst konstruiert er die Diagonalzahl 0, z11 z22 z33 z44 z55 …
Auf ihrer Basis konstruiert er eine Zahl, in der alle Ziffern, die ungleich 1 sind, durch eine 1 ersetzt werden, und in der ferner alle Ziffern, die gleich 1 sind, durch eine 0 ersetzt werden. Schnell zeigt sich: Die Zahl, die er auf diese Weise findet, unterscheidet sich per Definition von jeder in der Liste genannten Zahlen in mindestens einer Ziffer.
Auf ihrer Basis konstruiert er eine Zahl, in der alle Ziffern, die ungleich 1 sind, durch eine 1 ersetzt werden, und in der ferner alle Ziffern, die gleich 1 sind, durch eine 0 ersetzt werden. Schnell zeigt sich: Die Zahl, die er auf diese Weise findet, unterscheidet sich per Definition von jeder in der Liste genannten Zahlen in mindestens einer Ziffer.
Um Schülern die Gedanken Cantors zur Unendlichkeit näher zu bringen, bietet sich ein Gedankenspiel des Mathematikers David Hilbert an – Hilberts Hotel. Das Besondere an dieser Herberge: Sie verfügt über
unendlich viele Zimmer. Trotzdem ist es nicht immer einfach, freie Zimmer für neue Gäste zu finden. Das Gedankenspiel beginnt damit, dass alle Zimmer belegt sind. Was also tun, wenn ein neuer Gast kommt? Das Problem lässt sich lösen, indem jeder Gast ein Zimmer weiter zieht: Der von Zimmer 1 auf Zimmer 2, der von Zimmer 2 auf Zimmer 3 usw. Da es unendlich viele Zimmer gibt, findet sich so für jeden Gast eine neue Bleibe – und für den Neuankömmling steht Zimmer 1 frei. Schwieriger wird es für den Hotelmanager, wenn (abzählbar) unendlich viele neue Gäste eintreffen. Er löst aber auch dieses Problem, indem er den Gast aus Zimmer 1 auf Zimmer 2, den von Zimmer 2 auf Zimmer 4 und denn von Zimmer 3 auf Zimmer 6 schickt: Schnell werden unendlich viele Zimmer frei, und alle neuen Gäste kommen unter. Das Gedankenspiel lässt sich beliebig fortführen. Wie zum Beispiel löst der Hotelmanager die Aufgabe, die Gäste aus drei Bussen mit je unendlich vielen Gästen unterzubringen?
http://www2.informatik.hu-berlin.de/~schliebn/dl/Diagonalisierung_Unendlichkeit.pdf
http://www.students.uni-mainz.de/mgruner/ehm/Hilbert-Hotel.pdf
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