Themenspezial

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Kalenderrechnung:
Abschied vom Dezimalsystem

Sie sind am 15. September um 20 Uhr zu einer Geburtstagsparty eingeladen? Kein Problem: Eine Notiz im Kalender – dort erfahren Sie auch, dass es sich um einen Samstag handelt –, und dann am Tag der großen Party noch ein Blick auf die Uhr, damit Sie pünktlich kommen. Mehr braucht es heute nicht, um sich für alle verständlich auf einen Tag und eine Uhrzeit zu einigen.

Früher war das nicht so einfach, denn ohne präzise Uhren und die Möglichkeit, das aktuelle Datum jederzeit abrufen zu können, fiel die zeitliche Orientierung schwer. Deshalb haben die Menschen schon früh begonnen, Kalendersysteme und Zeiteinheiten zu entwickeln. Dass die Zeiteinheiten, die wir heute verwenden, aus unserem sonst stets präsenten Dezimalsystem herausfallen – eine Stunde umfasst 60 Minuten, ein Tag 24 Stunden, eine Woche sieben und ein Jahr 365 Tage –, hat zum Teil astronomische Gründe, vieles hat sich aber auch historisch entwickelt. Die Hintergründe unserer Kalenderrechnung geben Anlass zu spannenden Unterrichtsprojekten, bei denen vor allem die Entwicklung eigener Lösungsansätze im Vordergrund steht. Mathematisch spielt dabei das Rechnen mit Ganzzahlen und Resten eine große Rolle.

Der Kalender führt ins alte Rom

Die Suche nach dem Ursprung des Wortes Kalender führt gleich mitten hinein in die Geschichte der Datumsbestimmung. Es leitet sich von den römischen Kalenden (lat. „Kalendae“) ab – den Tagen, die im antiken Rom den Anfang der Monate kennzeichneten. Ursprünglich fielen sie auf den Tag nach dem Neumond. Die Kalenden waren in Rom Feiertage. Ein Priester rief die Mondgöttin Juno Covella mit den Worten „Te calo Iuno Covella!“ („Ich rufe dich, Juno Covella“) an – daher der Name „Kalenden“. Zugleich gab der Priester bekannt, wann im jeweiligen Monat die „Nonen“ folgen würden: Entweder am fünften oder am siebten Tag eines Monats gelegen, waren diese Tage neben den Kalenden ein weiterer zeitlicher Ankerpunkt im römischen Kalender. Am 13. oder 15. eines Monats folgten die „Iden“.

Das Problem des ursprünglichen römischen Kalenders: Er orientierte sich an den Mondphasen. Ein Jahr darin umfasste nur 355 Tage. Um trotzdem dem Verlauf der Jahreszeiten zu folgen, wurden alle zwei Jahre komplette Schaltmonate von 22 oder 23 Tagen zusätzlich eingeschoben – ein unübersichtliches System. Fortschrittlicher war zur selben Zeit der altägyptische Kalender, der mit 365 Tagen einem vollständigen Sonnenjahr viel näher kam.

Um Ordnung ins zeitliche Chaos zu bringen, führte Julius Cäsar 45 v. Chr. eine der wichtigsten Kalenderreformen der Geschichte durch: Er verlängerte einige der bis dahin nur 29 oder 30 Tage umfassenden Monate – und schuf damit die Monatslängen, die wir bis heute nutzen: Der „Julianische Kalender“ war geboren. Der Februar, damals noch der letzte Monat des Jahres, behielt seine ursprüngliche Zahl von 28 Tagen bei, weil das Jahr nach der Verlängerung der vorhergehenden Monate bereits die gewünschten 365 Tage umfasste. Lediglich in jedem vierten Jahr wurde auch an den Februar ein Tag angehängt. Damit kam Cäsars Schaltregel der heutigen schon sehr nah.

Namensgeber des neuen Kalenders war natürlich Julius Cäsar selbst. Zudem wurde der ursprünglich fünfte Monat ihm zu Ehren von Quintilis in Iulius umbenannt. Im Jahr 186 zog Kaiser Augustus nach und taufte den damals noch sechsten Monat, den „Sextilis“ in Augustus um.

Unterrichtsanregung

Entwickeln Sie mit Ihren Schülern selbst eine Schaltregel. Die Grundlage dafür ist die Länge eines so genannten „Tropischen Jahres“, also der Zeitraum von beispielsweise einer Frühjahrssonnenwende zur nächsten. Die tatsächliche Länge eines „Tropischen Jahres“ – so der wissenschaftliche Name des Sonnenjahres – unterliegt minimalen Schwankungen; als Basis soll hier eine Dauer von 365,24219 Tagen gelten.

  • Wie viel länger als 365 Tage – ausgedrückt in Stunden, Minuten und Sekunden – ist ein Tropisches Jahr?
  • Wie genau war die Schaltregel des Julianischen Kalenders? Wie viele Jahre müssen nach der Regel vergehen, bis der Kalender einen ganzen Tag vom tropischen Jahr abweicht?
  • Wie könnte eine sinnvolle Schaltregel aussehen, die über mehrere Jahrhunderte ihre Gültigkeit behält?

Die Suche nach dem Osterdatum:
Papst Gregor XIII. reformiert
den Kalender

Der „Julianische Kalender“ hat in Grundzügen bis heute Gültigkeit. Nur die Schaltregel bereitete Schwierigkeiten. Im Lauf der Jahrhunderte war das Datum immer weiter vom astronomischen Datum abgewichen und ließ daher keine verlässliche Vorhersage des Osterdatums mehr zu. Das höchste Fest der Christenheit soll am ersten Sonntag nach dem Frühlingsvollmond – dem ersten Vollmond ab dem 21. März – stattfinden. Um den aus kirchlicher Sicht gewaltigen Mangel des Julianischen Kalenders zu beheben, arbeitete der Mathematiker Christophorus Clavius auf Geheiß von Papst Gregor XIII. im 16. Jahrhundert eine Kalenderreform aus. 1582 löste schließlich der „Gregorianische Kalender“ den Julianischen ab, zur Korrektur der Abweichungen seit Cäsars Zeit fielen zehn Tage des Jahres aus: auf den 4. Oktober folgte ausnahmsweise direkt der 15. Oktober.
Clavius behielt Cäsars Schaltregel – ein zusätzlicher Tag alle vier Jahre – im Wesentlichen bei, sah allerdings drei Ausnahmen in 400 Jahren vor: Jahre, deren Zahl durch vier, aber nicht durch 100 teilbar ist, sind Schaltjahre. Ist die Zahl aber durch 400 teilbar, so findet doch ein Schaltjahr statt.

Unterrichtsanregung

Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler berechnen, wie genau unsere heutige Schaltregel ist: Wie viele Jahre nach der Einführung des Gregorianischen Kalenders empfiehlt es sich das erste Mal, einen Schalttag außer der Reihe entfallen zu lassen, um den Kalender wieder an den Lauf der Sonne anzupassen?

Computus: Rechenwege zum
Osterdatum

Mit Papst Gregors Kalenderreform konnte präzise der Ostertag vorausgesehen werden. Die Berechnung des Osterdatums wurde jedoch um einiges komplizierter. Schon zur Zeit des Julianischen Kalenders gab es für die Berechnung kirchlicher Feiertage ein eigenes Fachgebiet namens „Computus“ (lat. „Berechnung“). Die Computisten hatten im Lauf der Jahre eine Systematik entwickelt, um mithilfe von Tafeln und bestimmten Rechengrößen das Osterdatum vorauszusagen. Nach der Einführung des Gregorianischen Kalenders hatten sie viel zu tun, denn die im Jahr 1852 gestrichenen zehn Oktobertage und die neue Schaltregel erforderten neue Rechenwege. Lange Zeit dienten Jahrestabellen als Grundlage der Osterberechnung. Erst dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß gelang 1800 die Zusammenstellung einiger einfacher Gleichungen, die die Bestimmung des Ostersonntags auf rein rechnerische Weise erlaubte.

Unterrichtsanregung

Regen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler dazu an, eigene Wege zur Bestimmung des Osterdatums zu entwickeln! An welchen Tagen findet Ostern zum Beispiel 2050 oder 3000 statt? Wann war Ostern im Geburtsjahr der Schülerinnen und Schüler?

Die Grundlagen dafür:

  • Ostern findet am Sonntag nach dem ersten Vollmond ab dem 21. März statt. (Zusatzregelung: Da Ostern nach dem Beschluss des Konzils von Nicäa im Jahr 325 spätestens am 25. April liegen muss, rechnerisch aber auch der 26.4. möglich ist, wird der Ostersonntag in diesem Fall um eine Woche auf den 19.4. vorverlegt.)
  • Die Schaltregel: Jahre, die durch vier, aber nicht durch 100 teilbar sind, sind Schaltjahre. Sind sie jedoch durch 400 teilbar, dann wird ebenfalls ein Schalttag eingefügt.
  • Dauer einer Lunation, d.h. eines vollständigen Laufs des Mondes um die Erde: 29,53059 Tage
  • Länge eines Sonnenjahres: 365,24219 Tage
  • Ostersonntag fiel 1583, im ersten Jahr nach der Einführung des Gregorianischen Kalenders, auf den 10. April.

Rechercheaufgaben und Leitfragen:

  • Nach wie vielen Jahren wiederholt sich das Osterdatum?
  • Was berechneten die Computisten mit der „Goldenen Zahl“?
  • Was sind die „Epakten“, die in der Kalenderrechnung eine große Rolle spielten?
  • Wie lassen sich die Wochentage in die Rechnung einbeziehen?

Diesen Rechenweg stellte Gauß 1816 als endgültige Formel zur Bestimmung des Osterdatums vor:

julianisch:
N = 6
M = 15

gregorianisch:
N = 6 + INT(Jahr/100) - INT(Jahr/400) - 2
M = 15 + INT(Jahr/100) - INT(Jahr/400
- INT((8 * Int(Jahr /100 + 13) / 25)

a = Jahr mod 19
b = Jahr mod 4
c = Jahr mod 7
d = (M + 19a) mod 30
e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7
wenn (d + e == 35), dann: (d + e = 28)
wenn (d == 28) und (e == 6) und (a > 10), dann: (d + e = 27)
Ostern:(22 + d + e)ter März
(ggf. ergibt sich hier ein Datum, das bereits im April liegt.)

Eine genauere Erläuterung der Formel gibt es hier: http://www.nabkal.de/gauss1.html

Islamische Zeitrechnung:
Mondjahre und Sonnenjahre

Am 16. Juli 622 – jedenfalls einigte man sich 17 Jahre später rückwirkend auf dieses Datum – schlug die Geburtsstunde eines weiteren Kalenders, der bis heute in vielen Teilen der Welt beachtet wird. An diesem Tag soll Muhammad, der letzte Prophet des Islam, seinen Auszug von Mekka nach Medina angetreten haben, die so genannte „Hidschra“. Weil diese Reise für die Entstehung des Islam von entscheidender Bedeutung war, wurde der Tag von Muhammads Aufbruch als Beginn der islamischen Zeitrechnung festgelegt.

Wer allerdings das aktuelle islamische Jahr ausrechnen möchte, muss wissen, dass der Islam – wenigstens in religiösen Fragen – einen Mondkalender nutzt. Im Alltag hingegen orientieren sich die meisten Staaten ebenfalls am Gregorianischen Kalender. Islamische Mondmonate beginnen immer bei „Neulicht“, wenn die Mondsichel nach dem Neumond erstmals wieder sichtbar wird. Die zwölf Monate haben abwechselnd 30 und 29 Tage, in Schaltjahren wird dem letzten Monat ein Tag hinzugefügt. Insgesamt elf solcher Schalttage werden im Lauf von 30 Jahren angehängt, jeweils einer im 2., 5., 7., 10., 13., 16., 18., 21., 24., 26. und 29. Jahr eines 30jährigen Zyklus. Der aktuelle Zyklus begann im Juli 1990 am ersten Tag des islamischen Jahres 1411.

Unterrichtsanregung

Finden Sie gemeinsam mit Ihren Schülerinnen und Schülern Antworten auf folgende Fragen:

  • Wie lässt sich (annähernd) die aktuelle gregorianische Jahreszahl in die islamische Jahreszahl umrechnen und umgekehrt?
  • In welchem Jahr werden die Jahreszahlen des islamischen Kalenders die gregorianischen Jahreszahlen überholen?
  • In der Sekundarstufe II können die Schülerinnen und Schüler darüber hinaus versuchen, einen eigenen Lösungsweg zu entwickeln, um ein konkretes gregorianisches Datum in das islamische Datum umzurechnen und umgekehrt.

Sieben Wochentage:
Viel Stoff zum Knobeln

Die Sieben gilt als etwas unbequeme Zahl. Als Primzahl hat sie nur zwei natürliche Teiler, und die Prüfung, ob eine Zahl durch sieben teilbar ist, ist deutlich komplizierter als die Teilbarkeitsregeln für alle anderen Divisoren zwischen 1 und 10. Trotzdem ist ausgerechnet die Sieben in unserem Alltag allgegenwärtig: in Form der sieben Wochentage, die unserem Leben den Rhythmus geben. Dass eine Woche sieben Tage umfasst, hängt vermutlich mit der Länge einer Lunation zusammen. Etwa vier Wochen benötigt der Mond, um einmal die Erde zu umrunden.

Schon die antiken Römer teilten die Woche in sieben Tage und benannten sie nach den damals bekannten Planeten – inklusive Sonne und Mond. Der Sonntag ehrte die Sonne, der Montag war dem Mond gewidmet, Dienstag war der Tag des Mars. Am Mittwoch war der Tag des Merkur, Donnerstag galt Jupiter. Am Freitag war die Venus an der Reihe, Samstag stand im Zeichen des Saturn. Während in der deutschen Sprache später an einigen Wochentagen die römischen Götter germanischen Gottheiten weichen mussten, ist die Bindung der Wochentage an die Planeten in der englischen und französischen Sprache noch heute gut zu erkennen. Im englischen „saturday“ etwa ist Saturn noch sehr präsent und im französischen „vendredi“ ist noch immer ein Stück „Venus“ enthalten.

Mathematisch bringen die sieben Wochentage eine weitere Schwierigkeit in die Kalenderrechnung. Die Tage eines Jahres sind nicht durch sieben teilbar, deshalb beginnt jedes Jahr mit einem anderen Wochentag als das Vorjahr. Wer wissen möchte, auf welchen Wochentag ein bestimmtes Datum fällt, muss also ein bisschen rechnen. Ähnlich wie bei der Berechnung des Ostersonntags spielen auch hier die Schaltregeln eine wesentliche Rolle.

Unterrichtsanregung

Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler ermitteln, an welchem Wochentag sie geboren sind. Welche Lösungswege sind möglich? Wie lassen sich die Lösungswege mathematisch darstellen? Drei verschiedene Ansätze bieten sich an:

  • der Entwurf eines ewigen (oder für mehrere Jahrhunderte gültigen) Kalenders als Poster
  • eine Kopfrechenmethode wie die Doomsdaymethode, bei der ein bestimmtes Datum und der dazugehörige Wochentag als Ausgangspunkt dienen
  • eine rein mathematische Lösung, die für einen bestimmten Zeitraum (zum Beispiel 10, 100 oder 400 Jahre – abhängig von den Schaltregeln, die berücksichtigt werden sollen) oder ab Beginn des Gregorianischen Kalenders gültig ist.

Zellers Kongruenz

Mathematische Formeln zur Bestimmung eines bestimmten Wochentags haben sowohl der deutsche Mathematiker Gauß als auch einige Jahre später der Mathematiker und Theologe Christian Zeller vorgestellt. Besonders „Zellers Kongruenz“ findet bis heute in der Informatik Anwendung. Seine Formel für den gregorianischen Kalender lautet:

Zellers Kongruenz Formel

q steht dabei für den Tag, m für den Monat (die Monate März bis Dezember sind von 3 bis 12 nummeriert, Januar entspricht der 13 und Februar der 14 des Vorjahres). J stellt die Jahrhundertzahl (in vierstelligen Jahren also die ersten beiden Ziffern der Jahreszahl) dar, K die letzten beiden Ziffern. Wird ein Januar- oder Februarwochentag gesucht, muss hier die Vorjahreszahl eingesetzt werden. Das Ergebnis h gibt eine Zahl von 0 bis 6 wieder, die einem bestimmten Wochentag entspricht: 0 steht für Samstag, 1 für Sonntag usw.

Für Kopfrechner:
die Doomsdaymethode

Einen ganz anderen Weg geht die Doomsdaymethode, die der britische Mathematiker John Conway 1970 entwickelt hat. „Doomsday“ bezeichnet in diesem Zusammenhang den Wochentag, auf den der letzte Februartag fällt. Um die Methode anzuwenden, muss das Datum und der Wochentag des letzten Februartages in einem beliebigen Jahr bekannt sein – in Schaltjahren also der Wochentag des 29.2., in Gemeinjahren der 28.2. Von diesem Tag, dem kann relativ schnell auf die Wochentage der vor- oder zurückliegenden Tage und Jahre gefolgert werden. Einige Eselsbrücken erleichtern das Kopfrechnen:

  • Mit jedem Gemeinjahr rückt der Wochentag um einen Tag nach vorn, in Schaltjahren um zwei Tage. Fiel also der 28.2.2010 auf einen Sonntag, muss der 28.2.2011 ein Montag sein. 2012 ist ein Schaltjahr, daher gilt der Wochentag des 29.2. als Doomsday – ein Mittwoch.
  • Der 4.4., 6.6., 8.8., 10.10. und 12.12. fallen immer auf den Doomsday.
  • Dasselbe gilt für den 5.7., den 7.5., den 7.11. und den 11.7.
  • In Gemeinjahren fällt der Doomsday auf den 3.1., in Schaltjahren auf den 4.1.

Finden Ihre Schülerinnen und Schüler weitere Merkregeln? Welche Monate beginnen mit dem gleichen Wochentag? Wie viele Tage vor oder nach dem Doomsday ist Weihnachten?

Unterrichtsanregung: Freitag, der 13.

Freitage, die auf den 13. eines Monats fallen, gelten als Unglückstage. Finden Sie mit Ihren Schülerinnen und Schülern heraus, ob die Häufigkeit dieser vermeintlichen Pechtage besonders hoch ist. Welchen Zeitraum muss man dabei betrachten, um alle Schaltregelungen zu berücksichtigen? Wie könnte man die Verteilung der Wochentage in einem bestimmten Zeitraum überprüfen?

Der Maya-Kalender:
Geht im Dezember die Welt unter?

Wenn in Deutschland am 22. September 2012 kalendarisch der Herbst beginnt, schreibt der Maya-Kalender in der „Langen Zählung“ das Datum 12.19.19.13.10. Damit geht ein sehr langer Zeitabschnitt des historischen mittelamerikanischen Kalenders in seine letzte Saison: Am 20. Dezember endet – mit dem kalendarischen Ende des Herbstes – der 13. Baktun-Zyklus der Maya-Zeitrechnung. Baktun-Perioden sind die längsten Zeiteinheiten, die die Maya in der so genannten „Langen Zählung“ nutzten. Nur alle 144.000 Tage beginnt eine neue Baktun-Periode. Weder in den Prophezeiungen der Maya, noch am Himmel lässt sich allerdings ablesen, dass die Welt nach Ablauf der aktuellen Baktun-Periode untergeht.

Um ein Datum in der Langen Zählung anzugeben, nutzten die Maya ein Stellenwertsystem, in dem jede Stelle für einen bestimmten Zeitraum steht.

K’in bezeichnet die kleinste und letzte Stelle und umfasst einen Tag.
20 k’in entsprechen einem uinal.
18 uinal, also 360 Tage, ergeben ein tun.
20 tun, also 7.200 Tage, sind ein k’atun.
20 k’atun wiederum sind 144.000 Tage und damit ein baktun.

Die Notierung beginnt bei den Baktun-Perioden und trennt die folgenden Werte jeweils durch einen Punkt. Unser kalendarischer Herbstbeginn, der 22. September 2012, lautet in der Langen Zählung zum Beispiel 12.19.19.13.10. Mit anderen Worten: 12 baktun + 19 k’atun + 19 tun + 13 uinal + 10 k’in sind an diesem Tag seit Beginn der Maya-Zeitrechnung vergangen.

Unterrichtsanregung

Lassen Sie Ihre Klasse ausrechnen, an welchem Tag (nach unserem Kalendersystem) der Kalender der Maya begonnen hat. Wie lautet das Geburtsdatum der Schülerinnen und Schüler in der Langen Zählung? Können sie Formeln entwickeln, die bei der Umrechnung helfen?

Hier können Sie Kalenderdaten vom Gregorianischen in den Maya-Kalender umrechnen: http://www.vinckensteiner.com/kultur/kalender/

Kalenderwahrscheinlichkeiten:
Das Geburtstagsparadoxon

Zurück in die Gegenwart! Stellen Sie sich vor, Sie sehen einem Fußballspiel zu: Elf Spieler in jeder Mannschaft und ein Schiedsrichter stehen auf dem Feld. Wie hoch schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit ein, dass von diesen 23 Personen zwei am selben Tag Geburtstag haben (unabhängig vom Geburtsjahr)? Die Antwort: über 50 Prozent! Die meisten Menschen überrascht die Lösung, denn 23 erscheint im Vergleich zu den 365 Tagen des Jahres eine recht kleine Zahl zu sein. Deshalb ist diese Wahrscheinlichkeitsaufgabe auch unter dem Namen „Geburtstagsparadoxon“ bekannt. Sie bietet eine gute Möglichkeit, den Kalender mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu verbinden.

Unterrichtsanregung

Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler schätzen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für zwei gleiche Geburtstage unter 23 Personen ist und leiten Sie anschließend gemeinsam die Berechnung des Geburtstagsparadoxons her.

  • Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Verteilung der Geburtstage auf ein Jahr von 365 Tagen?
    Lösung: 3652
  • Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Verteilung auf ausschließlich unterschiedliche Tage?
    Lösung: 365 * 364 ... (365-(23-1))




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